等比数列是初中数学中经常出现的一个知识点，它是由一个公比确定的数列，可以方便地解决一些数学问题。但是，当我们遇到一些更加复杂的问题时，单纯的等比数列公式可能不够用。这时候，我们就需要用到等比数列的推广式。那么，如何应用等比数列的推广式解决数学问题呢？下面我们就一起来看看。

首先，我们来了解一下等比数列的推广式。等比数列的推广式是由以下公式给出的：

$S_n=a_1+ar_1+ar_2+...+ar_{n-1}=frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$

其中，$n$ 为数列的项数，$a_1$ 为数列的首项，$r$ 为数列的公比，$S_n$ 为数列前 $n$ 项的和。

利用这个推广式，我们不仅可以求解数列前 $n$ 项的和，还可以应用等比数列的特点，解决更加复杂的数学问题。

例如，一道经典的等比数列问题：一个正方形的面积为 $1$，对角线长度为 $sqrt{2}$，求这个正方形的周长。

解决这个问题，我们需要利用等比数列的推广式。我们知道，一个正方形的对角线长度是其边长的 $sqrt{2}$ 倍，因此可以设正方形的边长为 $a$，则根据勾股定理有：

$a^2+a^2=2a^2=2$

$a=frac{sqrt{2}}{sqrt{2}}=1$

因此，这个正方形的边长为 $1$。将其代入周长公式 $C=4a$ 中，可得正方形的周长为 $4$。因此，这个等比数列问题就被成功解决了。

再举一个实际应用的例子，假设我们要购买一件价值 $1000$ 元的商品，但我们只能支付 $200$ 元，且每年支付的金额要比前一年多 $5\\%$。问我们至少需要支付多少年，才能将商品全部支付完毕？

我们可以用等比数列的推广式来解决这个问题。设第 $n$ 年支付的金额为 $a_n$，则有：

$a_1=200$

$a_{n+1}=1.05a_n$

因此，这是一个公比为 $1.05$ 的等比数列，其前 $n$ 项的和为：

$S_n=frac{200(1.05^n-1)}{0.05}$

当 $S_n geq 1000$ 时，商品已经全部支付完毕，因此，我们需要找到最小的 $n$，使得 $S_n geq 1000$。

通过计算可得，$n$ 至少需要为 $9$ 年才能将商品全部支付完毕。因此，这个等比数列问题也被成功解决了。

总结来说，利用等比数列的推广式，可以解决一些比较复杂的数学问题，尤其是在金融、经济、商业等领域，等比数列的应用也非常广泛。当遇到问题时，我们可以将其转化为等比数列形式，应用等比数列的性质和推广式来解决问题，可以更加方便地得出答案。

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